Distribuční funkce F(xi)
Z teoretického hlediska představuje distribuční funkce F(x) nejúplnější popis pravděpodobnostního chování diskrétní nebo spojité náhodné proměnné X. Distribuční funkci F(x) můžeme definovat jako pravděpodobnost, že náhodná veličina (proměnná X) nabude hodnoty menší (případně rovné) než určitá hodnota x. Distribuční funkce F(xi) je tedy vždy přiřazena ke konkrétní hodnotě náhodné veličiny xi.
F(xi) = P(X< xi)
Distribuční funkce je definována pro všechna reálná čísla x, má tedy smysl pro hodnoty v intervalu: -¥ < x < +¥. Pro tato reálná čísla pak distribuční finkce F(xi) může nabývat hodnot v intervalu á0 ; +1ñ. Tyto hraniční hodnoty intervalu dostaneme při dosazení extrémních hodnot x (tzn. x = -¥ a x = +¥) za xi . Dostaneme tedy:
F(-¥) = 0 , protože pravděpodobnost P(X < -¥) je nemožná
F(+¥) = 1, protože pravděpodobnost P(X < +¥) je jistá
Chování diskrétní náhodné veličiny lze popsat pravděpodobnostní funkcí p(x)= P(X = x). Známe-li pravděpodobnostní funkci, umíme dopočítat distribuční funkci, a naopak.
Chování spojité náhodné veličiny lze popsat podobným ekvivalentem pravděpodobnostní funkce. Má-li F(x) pro všechna x derivaci, nazýváme tuto derivaci hustotou pravděpodobnosti neboli frekvenční funkcí f(x) náhodné proměnné X. Hustota pravděpodobnosti f(x) vykazuje podobné vlastnosti jako p(x) = P(X = x) u diskrétních náhodných proměnných.
Distribuční funkci F(xi) lze graficky vyjádřit jako plochu pod křivkou pravděpodobnostního rozdělení, ohraničenou v hodnotě xi. Příklad pro grafické vyjádření distribuční funkce F(xi) Gausssova normálního rozdělení, definované pro bod xi je zobrazena na následujícím obrázku (vyšrafovaná část plochy pod křivkou):
Distribuční funkce F(xi)
Na obrázku je znázorněn příklad distribuční funkce pro Gaussovo normální rozdělení v bodě xi, který je roven střední hodnotě populace (mediánu). Celková plocha pod křivkou zde symbolicky vyjadřuje celou populaci (100% jedinců), zatímco vyšrafovaná část plochy pod křivkou zobrazuje distribuční funkci v bodě xi. Distribuční funkce zde tedy symbolicky popisuje podíl jedinců, kteří mají svoje hodnoty menší (případně rovné) než je hodnota xi. V tomto případě je to 50% populace (distribuční funkce F(xi) = 0,5).
Hodnoty distribučních funkcí odpovídající různým hodnotám x jsou pro nejdůležitější a nejběžnější typy rozdělení spojitých i nespojitých veličin spočítány, zaneseny ve statistických tabulkách a lze je využívat pro statistické výpočty (viz Tabulky: Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení).
Pojem kvantil úzce souvisí s pojmem distribuční funkce. Kvantil můžeme definovat jako libovolnou hodnotu náhodné proměnné x, která rozděluje soubor dat na dvě části :
- hodnoty nižší (případně rovné) než je kvantil
- hodnoty vyšší než je kvantil.
Každému kvantilu (libovolné hodnotě náhodné proměnné) xp, je definována jeho odpovídající distribuční funkce F(xp), kterou vyjadřujeme v podobě pravděpodobnosti p (v grafickém vyjádření je to část plochy pod křivkou pravděpodobnostního rozdělení, ohraničená kvantilem xp).
Např. 20% kvantil (x0,2) je hodnota, která rozdělí plochu pod křivkou pravděpodobnostního rozdělení tak, že 20% souboru má hodnoty sledované proměnné menší (případně rovné) než kvantil x0,2 a 80% souboru má hodnoty větší než kvantil x0,2 .
Existují určité kvantily, které mají pro statistiku zvláštní význam. Významné místo zaujímá 50% kvantil, tzv. medián (x0,5), který člení statistický soubor na dvě stejně četné poloviny. Odděluje 50% nízkých hodnot sledovaného statistického znaku (náhodné proměnné) od 50% vysokých hodnot znaku v souboru. Jinými důležitými kvantily používanými ve statistice jsou kvartily (x0,25, x0,5, x0,75), které rozdělují soubor hodnot náhodné proměnné na čtvrtiny, dále decily, percentily ad.