Nelineární korelační závislost

Protože je výpočet nelineárních regresních rovnic bez využití výpočetní techniky a statistického softwaru je značně namáhavý, převádí se v praxi většinou nelineární závislost na lineární pomocí vhodné transformace původních hodnot (např. logaritmováním, vhodnou substitucí apod.). Jinou, poměrně často používanou možností řešení nelineárních závislostí mezi náhodnými proměnnými v biostatistice je použití výpočtu Spearmanova korelačního koeficientu.

Spearmanův koeficient pořadové korelace

Jde o neparametrickou metodu, která využívá při výpočtu pořadí hodnot sledovaných veličin, nevyžaduje tedy normalitu dat. Výhodou je, že lze tuto metodu použít pro popis jakékoliv závislosti - lineární i nelineární. Spearmanův korelační koeficient, jehož teoretickou hodnotu značíme „r_Sp“, používáme nejčastěji pro měření síly vztahu u takových veličin, kdy nemůžeme předpokládat linearitu očekávaného vztahu nebo normální rozdělení sledovaných proměnných X a Y. Závislost proměnných může mít obecně vzestupný nebo sestupný charakter. Jestliže je r_Sp = 1, resp. r_Sp = -1, korelační dvojice (x_i, y_i) leží na nějaké vzestupné, resp. klesající funkci. Pro malé rozsahy n je výpočet Spearmanova korelačního koeficientu méně pracný než výpočet Pearsonova parametrického korelačního koeficientu. Proto je možno ho použít i k hodnocení lineárních závislostí; jeho použití je tu však spíše orientační (využívá méně informací z dat) a na rozdíl od parametrického koeficientu je méně účinný.

Výpočet Spearmanova korelačního koeficientu vychází z pořadových čísel proměnných x_i a y_i (korelačních dvojic) naměřených u n jedinců výběrového souboru. Jsou-li hodnoty proměnných x_i a y_i seřazeny vzestupně do dvou řad a každé hodnotě je přiděleno pořadí, pak koeficient pořadové korelace je dán vztahem:

kde

D_i = rozdíl mezi pořadím hodnot x_i a y_i příslušných korelačních dvojic

n = počet korelačních dvojic

Vypočtený koeficient porovnáme s tabelovanými kritickými hodnotami Spearmanova korelačního koeficientu pro zvolené a a dané n  (viz Tabulky: Kritické hodnoty Spearmanova korelačního koeficientu r_Sp :

Je-li |r_Sp| > r_{Sp(α, n)}  => koeficient pořadové korelace je významný na hladině významnosti a (tzn. že korelace sledovaných veličin byla prokázána na úrovni celé populace)

Je-li |r_Sp| < r_{Sp(α, n)}  => koeficient pořadové korelace je nevýznamný na hladině a (tzn. že korelace sledovaných veličin v populaci neexistuje)

Příklad:

U 10 pacientů byl sledován vztah mezi pH moči (x_i) a hladinou K⁺ iontů (mmol.l^-1) v krevním séru (y_i). Existuje závislost těchto ukazatelů?  Zjištěné údaje jsou shrnuty do následující tabulky:

Pacient č.        1          2          3          4          5          6          7          8          9          10                                                            

pH moči          5,92     7,00     6,90     6,05     6,80     6,10     6,00     6,50     7,20     6,12           

K⁺ ionty          4,0       4,8       4,9       4,2       4,8       4,9       4,0       4,3       4,5       4,7 

Postup:

1.      Seřadíme vzestupně hodnoty x_i a y_i do dvou variačních řad – tím zjistíme pořadí jednotlivých hodnot x_i a y_i. Vyskytnou-li se stejné hodnoty ve variační řadě, přidělíme každé z nich tzv. průměrné pořadí - např. seřazená variační řada hodnot pro hladinu K⁺ iontů má první dvě hodnoty stejné (4,0 mmol.l^-1), tzn., že obě hodnoty dostanou pořadové číslo 1,5. , které bylo vypočteno jako průměr z pořadí 2. + 1..

2.      Sestavíme tabulku podle pořadí hodnot x_i a y_i pro každou korelační dvojici :

Pacient č.        1          2          3          4          5          6          7          8          9          10                                                    

pH moči          1.         9.         8.         3.        7.         4.         2.         6.         10.       5.                    

K⁺ ionty          1,5.      7,5.      9,5.      3.       7,5.      9,5.      1,5.       4 .        5.         6 .

3.      Sestavíme tabulku vypočtených rozdílů pořadí D_i proměnné x_i a proměnné y_i a rozdíly umocníme na druhou:

Rozdíl                   

pořadí D_i     +0,5     -1,5      +1,5      0      +0,5     +5,5     -0,5      -2,0      -5,0     +1,0                                       

 D_i²               0,25     2,25     2,25      0      0,25     30,25    0,25     4,00     25,0       1,0        

4.      Vypočteme součet mocnin rozdílů pořadí:

5.      Vypočteme Spearmanův korelační koeficient r_Sp:

6.      Vypočtený koeficient porovnáme s tabulkou významnosti koeficientů pořadové korelace pro n =10 a zvolenou chybu a (Kritické hodnoty Spearmanova korelačního koeficientu r_Sp):

Kritická hodnota r_Sp(0,05,10)  = 0,564

    |0,603| > r_Sp(0,05,10)  Þ  korelační koeficient je statisticky významný 

Závěr: Protože Spearmanův korelační koeficient je statisticky významný, znamená to, že vzájemná korelace mezi pH moči a hladinou K⁺ iontů v krevním séru u pacientů byla prokázána (p < 0,05).

Zpět