Testy rozdílů četností

Tímto testem porovnáváme empirické (experimentálně získané) četnosti sledovaného kvalitativního znaku pozorované ve výběrovém souboru o rozsahu n jedinců s teoretickou (statistickou) četností, kterou známe např. z literatury nebo z dlouhodobých pozorování. Testujeme přitom nulovou hypotézu o shodě empirické a teoretické četnosti H₀: n_e = n_o. Test rozdílu empirické a teoretické četnosti se nejčastěji používá při srovnávání výskytu nějakého náhodného jevu – kvalitativního znaku (např. úhyn zvířete, výskyt onemocnění, provedení vakcinace) ve sledovaném výběrovém souboru vzhledem k výskytu tohoto náhodného jevu v celé populaci. Jiným příkladem je použití v genetice při výpočtech spojených s porovnáváním empirických četností pozorovaných v genetických pokusech s očekávanými četnostmi teoreticky známými (štěpné poměry dle Mendela).

V chovu 146 telat bylo ve 13 případech zjištěno onemocnění enteritidou. V celé populaci je výskyt tohoto onemocnění u telat podle dlouhodobých sledování 4,5% . Liší se výskyt enteritidy ve sledovaném chovu vzhledem k celé populaci?

Rozlišíme 2 kategorie (třídy) zvířat u výběrového i základního souboru:

4) Zvolíme hladinu významnosti α a vyhledáme v tabulkách kritickou hodnotu odpovídající této hladině významnosti a danému stupni volnosti: c²_0,95(1)= 3,84

Vypočítaný c²> c²_0,95(1)=> rozdíl mezi empirickou a teoretickou četností je statisticky významný na hladině významnosti 0,05

Závěr: Pozorovaná výskyt enteritidy je ve sledované stáji statisticky významně (p < 0,05) vyšší než v celé populaci.

V experimentu s křížením rostlin hrachu, kdy byly sledovány barva a tvar semene, byly u souboru n = 556 semen pozorovány následující empirické četnosti (n_ei) ve 4 kvalitativních třídách:

Z předpokladu genetické nezávislosti barvy a tvaru semene a dominance kulatosti respektive žluté barvy (podle Mendelových zákonů) vyplývá, že by štěpný poměr měl být 9:3:3:1. Odpovídá pokus Mendelovým zákonům?

1) Odvození očekávaných pravděpodobností p_oi pro výskyt potomků (semen) v jednotlivých třídách (výpočet ze zadaného štěpného poměru):

2) Vypočítáme očekávané četnosti v jednotlivých třídách (n_oi = p_oi . n) :

4) Zvolíme hladinu významnosti α a vyhledáme v tabulkách kritickou hodnotu odpovídající této hladině významnosti a danému stupni volnosti: c²_0,95(3)= 7.81

5) Porovnáme vypočítané testovací kritérium c² s tabulkovou kritickou hodnotou (viz Tabulky: Kritické hodnoty rozdělení c²):

Vypočítaný c²< c²_0,95(3) => rozdíly v četnostech v jednotlivých třídách nejsou statisticky významné.

Závěr: Pozorované četnosti v našem experimentu odpovídají teoretickému předpokladu podle Mendelových zákonů (p > 0,05).

Tímto testem jsme schopni porovnat 2 i více skupin empirických četností mezi sebou a rozhodnout, zda se skupiny ve svých četnostech výskytu sledovaného kvalitativního znaku liší. V testu pracujeme s nejméně dvěma skupinami četností, přičemž každá skupina má několik kvalitativních tříd. Skupiny reprezentují náhodné výběrové soubory, které porovnáváme mezi sebou a testujeme tedy rozdíly empirických četností mezi skupinami navzájem.

Zjištěné empirické četnosti uspořádáme do tabulek četností, v nichž každý řádek a sloupec odpovídá klasifikaci do kategorií podle určitého kvalitativního znaku (skupiny, třídy). Testování rozdílu empirických četností pak provádíme vzhledem k vlastním součtům v tabulce. V tabulce četností označíme:

Při uspořádání četností v tabulce používáme pro označení četností (empirických i očekávaných) v jednotlivých buňkách tabulky symbol n_ij, kde indexy i, j přiřazují danou četnost k odpovídajícímu řádku (skupině) a sloupci (třídě) v tabulce. Pro každou pozorovanou empirickou četnost n_eij v každé buňce tabulky vypočítáme odpovídající očekávanou četnost n_oij pomocí součtů empirických četností v řádcích ( s_i = součet empirických četností v řádku i) a sloupcích tabulky (t_j = součet empirických četností ve sloupci j) podle následujícího vztahu:

Testovací kritérium c² pak vypočteme známý způsobem a porovnáme vypočtený c² s tabulkovou kritickou hodnotou c²_{1-a (n)}, abychom posoudili statistickou významnost rozdílu srovnávaných četností. Jako kritické hodnoty pro c²–test slouží 1-a kvantily c²- rozdělení při n = (k-1) . (m-1) stupních volnosti (viz Tabulky: Kritické hodnoty rozdělení c²).

Pokud vypočtená statistika (testovací kritérium) c² přesáhne tabulkovou kritickou hodnotu c²_{1-a (n)}, prohlásíme, že empirické četnosti pozorované v jednotlivých skupinách se statisticky významně liší na hladině významnosti a.

Ve 3 chovech (A,B,C) v kraji byly sledovány počty mrtvě a živě narozených selat. Máme zjistit, zda se liší mortalita selat v těchto chovech? Zjištěné výsledky výskytu živě a mrtvě narozených selat v jednotlivých chovech jsou shrnuty v následující tabulce, která prezentuje empirické četnosti (n_oij) pozorované ve 3 skupinách (A,B,C) a 2 třídách (živé,mrtvé) :

	Živé	Mrtvé
A	96	25
B	121	22
C	89	16

	Živé	Mrtvé	Skup. S *(s_i)*
A	96 (100,34)	25 (20,66)	121
B	121 (118,59)	22 (24,41)	143
C	89 (87,07)	16 (17,93)	105
Tř. S *(t_j)*	306	63	369 (n)

Teoretické četnosti (n_oij) pro každou buňku tabulky vypočítáme podle vzorce:

c² < c²_0,95(2) => mezi sledovanými četnostmi není statisticky významný rozdíl

Závěr: Počet mrtvě a živě narozených selat se mezi sledovanými chovy A, B a C statisticky významně neliší (p > 0,05).